หลักการนับเบื้องต้นง่าย ๆ

ซึ่งในหลักการนับเบื้องต้นนี้ก็จะมาว่าด้วยเรื่องของหลักการบวกและหลักการคูณ การเรียงสับเปลี่ยน การจัดหมู่ และทฤษฎีบททวินาม เป็นต้น แต่ละอย่างคืออะไรบ้างมีดังนี้

• หลักการนับด้วยหลักการบวก เป็นอีกหนึ่งวิธีที่ทำให้การนับนั้นรวดเร็วขึ้น ปกติเวลาเราจะนับอะไร นับจำนวนก็จะค่อย ๆ นับไปทีละลำดับไป จบครบ แต่ถ้าหากจำนวนมันเยอะบางทีก็อาจจะยากและกินเวลาลองมาใช้หลักการนับด้วยการบวกดู โดยวิธีคือก็ง่าย ๆ เลย คือจะเอาผลรวมของจำนวนทุกอย่างออกมาเป็นสูตรนี้ n1 + n2+… = nn แบบนี้ไปเรื่อย ๆ นั่นเอง เอาแบบให้เห็นภาพของหลักการนับเบื้องต้นแบบนี้คือ มีขนมปัง 2 ชิ้น ขนมเค้ก 3 ชิ้น และ ขนมเยลลี่ 1 ชิ้น คำถามคือ มีขนมให้เลือกกินทั้งหมดกี่ชิ้น ซึ่งวิธีการนับก็จะเป็น ขนมปัง 2 เค้ก 3 เยลลี่ 1 เป็น 2 + 3 + 1 = 6 ชิ้น นั่นเอง มันก็ง่าย ๆ แบบนี้เลย
• หลักการนับด้วยหลักการคูณ สำหรับวิธีนี้ก็อาจจะยากขึ้นมาเล็กน้อย หากการทำงานนี้มันค่อนข้างจะหลายขั้นตอนหน่อย การทำงานด้วยหลักการนี้คือ ผลคูณของจำนวนวิธีการทำงานทุกขั้นตอน สูตรก็แบบนี้ n1 x n2 x … x nn แบบนี้ไปเรื่อย ๆ เลย ตัวอย่างให้เห็นภาพชัดเจนขึ้น มีขนมปัง 2 ชิ้น ขนมเค้ก 3 ชิ้น ขนมเยลลี่ 1 ชิ้น หากวันนี้เลือกกิน 2 ชิ้น โดยถ้ากินชิ้นแรกไปแล้ว จะกินชิ้นที่ 2 ต่อ จะมีวิธีในการกินขนมวันนี้กี่วิธี อย่างแรกเลยขนมทั้งหมดมี 6 ชิ้น วิธีแรกจะเลือกกินชิ้นไหนก่อนก็ได้ มี 6 ชิ้น ส่วนต่อไปชิ้นที่ 2 จะเริ่มจากชิ้นไหนก็ได้ จะเหลือ 5 ชิ้น วิธีการหาก็เอา 6 x 5 = 30 วิธี เป็นต้น
• หลักการนับแบบการเรียงสับเปลี่ยน สำหรับวิธีการนี้หลายคนอาจจะรู้สึกไม่คุ้นชินและดูไม่ง่ายสักเท่าไหร่ เราจะมาทำความเข้าใจไปพร้อมกันตอนนี้เลย มันก็เป็นหลักการนับเบื้องต้นอย่างหนึ่งแค่มันไม่ค่อยได้ถูกใช้ในชีวิตประจำวันเราเท่านั้นเอง หลายคนจะถนัดใช้วิธีการบวกกับคูณมากกว่า มาดูกันว่าการเรียงแบบสับเปลี่ยนนี้มีวิธีการอย่างไร ซึ่งมันก็จะต่อมาจากการคูณ

หลักการนับแบบนี้เริ่มจาก เรามีของอยู่ n อย่าง ที่ต่างกันหมดเลย แล้วเราอยากจะเอาของ r ชิ้น จากของที่มีอยู่นั้นมาเรียงลำดับ วิธีการก็จะเป็นแบบนี้ ขั้นที่ 1 เลือกของชิ้นที่ 1 มาวางเลยจะเป็นอันไหนก็ได้จากจำนวน n ชิ้นที่เรามี ต่อไปตอนที่ 2 ก็เลือกชิ้นที่ 2 มาวาง ก็เลือกมาจากชิ้นที่เหลือจากการวางชิ้นที่ 1 มี n – 1 ไปถึงขั้นตอนที่ r เลือกชิ้นที่ r ของชิ้นที่เหลือจากการวางชิ้นที่ r – 1 มี n – r + 1 ชิ้น แบบนี้ จริง ๆ มันก็อาจจะดูไม่ง่ายเลยนะ ก็จะเป็น =nx(n-1)x(n-2)x…x(n-r+1) หรือจะเขียนว่า n! ก็ได้ ซึ่งมันก็คือ n นั่นแหละ เรียกสิ่งนี้ว่าแฟกทอเรียล

• หลักการนับแบบการจัดหมู่ แบบนี้ก็ค่อนข้างง่ายคือเป็นการจัดหมู่ หรือจัดเป็นกลุ่ม ๆ ของสิ่งต่าง ๆ เลย เป็นการไม่ได้คำนึงว่าจะลำดับอะไรถึงอะไร แต่จะเป็นการจัดหมู่เลย เป็นอีกหนึ่งหลักการนับเบื้องต้นที่ง่าย ๆ เลย สำหรับสูตรของการจัดหมู่สิ่งของที่ต่างกันทั้งหมดนั้นก็จะเป็น สิ่งของ n ชิ้น ที่ไม่เหมือนกันเลย และต้องการจะเอามา r ชิ้น เราก็จะมีจำนวนวิธีในการจัดหมู่แบบนี้

C _n,r = (n r) = n!

(n-r)!r!

สำหรับคนที่ไม่ได้มาทางสายคณิตศาสตร์ก็อาจจะไม่ชินเลยกับหลักการนับอะไรแบบนี้ เพื่อให้เห็นภาพได้ชัดขึ้นว่ามันทำงานอย่างไร ลองดูตัวอย่างนี้ มีไอติม 6 รส แล้วเราอยากจะสั่ง 2 รส เราจะสั่งได้ทั้งหมด 4 วิธี วิธีในการหาคำตอบจากหลักการนับแบบนี้คือ (6₂) = 6!/(6-2)!2! = 15 วิธี นั่นเอง

• หลักการนับแบบทฤษฎีบททวินาม ก็อยากจะบอกว่ามันมีอะไรที่น่าทึ่งขนาดนี้เลยหรือสำหรับการนับ ไม่ได้มีแค่ หนึ่ง สอง สาม สี่ ไปเรื่อย ๆ ยิ่งการนับแบบทฤษฎีบททวินามนี่แทบจะร้องเลยว่า มันคืออะไร? แต่ไหน ๆ ก็พูดถึงแล้วก็มาดูกันหน่อยว่ามีอะไรน่าสนใจบ้าง สูตรจะเป็น

(X + Y)ⁿ = (n 0)Xⁿ + (n1)x^n-1y+…+(n  n)yⁿ

ซึ่งจะเป็นการกระจายของจำนวน x บวก Y ยกกำลัง n เมื่อ x และ Y เป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็ม + ก็เอา X หรือ Y ของสูตรใน()แรกนั้น คูณกับ X หรือ Y ของ () ต่อไป จนถึง () ที่ n ก็จะได้ 1 พจน์ ก็ทำไปเรื่อย ๆ เลยจนมันครบนั่นเอง

สำหรับหลักการนับเบื้องต้นนี้ใครอยากจะนับแบบไหน ถนัดการใช้แบบใดก็ตามสะดวกกันเลย ส่วนใครที่เป็นสายสอน สายคณิตศาสตร์มันก็อาจจะจำเป็นต้องรู้ทั้งหมดทุกหลักการนะ จะได้ใช้ไม่ได้ใช้ในชีวิตประจำวันอีกเรื่องหนึ่ง เอาเป็นความรู้เอาไว้ก่อน